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数学物理中的微分几何与拓扑学
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内容简介
序言
前言
目录
第1 部分 微分流形
第1 章 预备知识
§ 1.1 什么是流形
§ 1.2 在流形中引入坐标与微分结构
§ 1.3 切空间和余切空间
§ 1.4 微分形式与外微分
§ 1.5 流形的定向和微分形式的积分
第2 章 切向量和余切向量的一些性质和运算
§ 2.1 切向量场和余切向量场的映射变换
§ 2.2 子流形及层状结构
§ 2.3 李导数LX
§ 2.4 内积算子iX 和三个Cartan 公式
§ 2.5 齐李群空间
§ 2.6 李群空间上的不变向量场和不变余向量场
第3 章 曲率张量和挠率张量、协变微分、伴随外微分
§ 3.1 协变微分与联络
§ 3.2 流形上向量的迁移及曲率和挠率
§ 3.3 曲率张量和挠率张量的结构方程和可积条件
§ 3.4 Hodge *和伴随外微分
第4 章 黎曼几何
§ 4.1 黎曼度量
§ 4.2 Levi‐Civita 平行输运、黎曼联络、曲率张量
§ 4.3 两个有趣的例子
§ 4.4 n 维黎曼流形上的四脚标架场
§ 4.5 黎曼流形上的共形变换群（流形维数＞ 2）
§ 4.6 黎曼流形上的共形变换群（流形维数n ＝ 2）
第5 章 复流形
§ 5.1 复流形和它的特点
§ 5.2 矢量空间上的复结构和近复流形
§ 5.3 近厄米流形、厄米流形、厄米联络
§ 5.4 K惫hler 流形
第2 部分 整体拓扑性质
第6 章 流形的同伦性质与同伦群
§ 6.1 同伦映射
§ 6.2 基本群Π1 （M ，x0 ）
§ 6.3 同伦群的结构与同态序列
§ 6.4 高阶同伦群
§ 6.5 n 维球S n 的同伦群
第7 章 同调论与de Rham 上同调论
§ 7.1 整同调群
§ 7.2 同调群与连通性、定向性的关系
§ 7.3 通过对偶同态引入上同调群
§ 7.4 de Rham 上同调论
§ 7.5 调和形式Harmk （M ，R）
第8 章 纤维丛及其拓扑结构
§ 8.1 什么是纤维丛
§ 8.2 纤维丛与截面
§ 8.3 几种有代表性的纤维丛
§ 8.4 其他各种纤维丛举例
§ 8.5 万有丛和分类空间
第9 章 纤维丛上的联络与曲率
§ 9.1 一般向量丛上的联络
§ 9.2 有关向量丛上曲率的几个说明
§ 9.3 主丛上的联络
§ 9.4 伴向量丛上的联络
第10 章 纤维丛的示性类与曲率张量
§ 10.1 不变多项式与示性类
§10.2 复向量丛上的陈示性类
§ 10.3 实向量丛上的庞特里亚金示性类
§ 10.4 实定向偶维向量丛上的欧拉示性类
§ 10.5 实向量丛上的斯蒂菲尔‐惠特尼示性类
§ 10.6 陈‐Simons 示性类
第3 部分 指标定理和四维流形
第11 章 无边界流形的指标定理
§ 11.1 椭圆微分算子与解析指标
§ 11.2 椭圆复形与A tiyah‐Singer 指标定理
§ 11.3 de Rham 复形与Gaus s‐Bonnet 定理
第12 章 四维流形的一些重要性质
§ 12.1 S4 上非平庸瞬子解（ 倡F ＝ F）和Bianchi 恒等式
§ 12.2 自对偶联络A （ ∈ Λ1g）的模空间维数
§ 12.3 单连通4‐流形的拓扑分类
§ 12.4 Donalds on 定理
§ 12.5 Taubes 定理
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