纯数学教程(第9版)电子书

再版译者序

第9版

第7版

第1版(节录)

第 1 章 实变量

1. 有理数

2. 用直线上的点表示有理数

3. 无理数

4. 无理数(续)

5. 无理数(续)

6. 无理数(续)

7. 无理数(续)

8. 实数

9. 实数之间的大小关系

10. 实数的代数运算

11. 实数的代数运算(续)

12. 数

13. 二次根式

14. 关于二次根式的某些定理

15. 连续统

16. 连续的实变量

17. 实数的分割

18. 极限点

19. Weierstrass定理

第1章杂例

第 2 章 实变函数

20. 函数的概念

21. 函数的图形表示

22. 极坐标

23. 更多函数及其图形表示

24. B.有理函数

25. 有理函数(续)

26. C. 显式代数函数

27. D. 隐式代数函数

28. 超越函数

29. F. 其他超越函数类

30. 一元方程的图形解

31. 二元函数及其图形表示

32. 平面曲线

33. 空间中的轨迹

第2章杂例

第 3 章 复数

34. 沿直线和在平面上的位移

35. 位移的等价与位移的数乘

36. 位移的加法

37. 位移的乘法

38. 位移的乘法(续)

39. 复数

40. 复数(续)

41. 等式

42. 用作乘法的几何解释

43. 方程,

44. Argand图

45. De Moivre定理

46. 几个关于复数的有理函数的定理

47. 复数的根

48. 方程的解

49. De Moivre定理的一般形式

第3章杂例

第 4 章 正整变量函数的极限

50. 一个正整变量的函数

51. 插值

52. 有限类和无限类

53. 当很大时的函数所具有的性质

54. 当很大时的函数所具有的性质(续)

55. 习用语“趋向无穷大”

56. 当趋向无穷大时, 的函数的性状

57. 当趋向无穷大时, 的函数的性状(续)

58. 极限的定义

59. 极限的定义(续)

60. 极限的定义(续)

61. 关于定义的几个要点

62. 振荡函数

63. 某些关于极限的一般性定理

64. 定理I的附属结果

65. B. 两个性状已知的函数的乘积之性状

66. C. 两个性状已知的函数的差以及商的性状

67. 定理V

68. 定理V(续)

69. 以为变量且与一起递增的函数

70. 对定理的说明

71. 第19节中Weierstrass定理的另一证明

72. 当趋向时的极限

73. 的极限

74. 某些代数引理

75. 的极限

76. 无穷级数

77. 关于无穷级数的一般性定理

78. 无穷几何级数

79. 用极限来表示一元连续实变函数

80. 有界集合的界

81. 有界函数的界

82. 有界函数的不定元的极限

83. 有界函数的一般收敛原理

84. 无界函数

85. 复函数以及复项级数的极限

86. 定理的推广

87. 当 时的极限, 是任意的复数

88. 当为复数时的几何级数

89. 符号

第4章杂例

第 5 章 一个连续变量的函数之极限, 连续函数和不连续函数

90. 趋向 时的极限

91. 当 趋向 时的极限

92. 与第 4 章第 6369 节的结论对应的定理

93. 当趋向0时的极限

94. 当趋向时的极限

95. 递增以及递减的函数

96. 不定元的极限以及收敛原理

97. 不定元的极限以及收敛原理(续)

98. 符号 ：小量和大量的阶

99. 一个实变量的连续函数

100. 一个实变量的连续函数(续)

101. 连续函数的基本性质

102. 连续函数的进一步的性质

103. 连续函数的取值范围

104. 函数在区间中的振幅

105. 第 103 节定理 2 的另外的证明

106. 直线上的区间集合, Heine-Borel 定理

107. 连续函数的振幅

108. 多元连续函数

109. 隐函数

110. 反函数

第5章杂例

第 6 章 导数和积分

111. 导数或者微分系数

112. 某些一般性的注解

113. 某些一般性的注解(续)

114. 微分法的某些一般法则

115. 复函数的导数

116. 微分学的记号

117. 标准形式

118. B.有理函数

119. C.代数函数

120. D.超越函数

121. 高阶导数

122. 关于导数的某些一般性定理

123. 极大和极小

124. 极大和极小(续)

125. 极大和极小(续)

26. 中值定理

127. 中值定理(续)

128. Cauchy中值定理

129. Darboux的一个定理

130. 积分

131. 实际的积分问题

132. 多项式

133. 有理函数

134. 有理函数的实际积分法的注记

135. 代数函数

136. 换元积分法和有理化积分法

137. 与圆锥曲线有关的积分

138. 积分

139. 积分

140. 积分

141. 分部积分

142. 一般的积分,其中

143. 超越函数

144. 以的倍数的余弦以及正弦为变量的多项式

145. 积分以及与之相关联的积分

146. 和的有理函数

147. 包含以及的积分

148. 平面曲线的面积

149. 平面曲线的长度

第6章杂例

第 7 章 微分学和积分学中另外一些定理

150. 更高阶的中值定理

151. Taylor定理的另一形式

152. Taylor级数

153. Taylor定理的应用, A. 极大与极小

154. B. 某些极限的计算

155. C. 平面曲线的相切

156. 多元函数的微分法

157. 二元函数微分法

158. 二元函数微分法(续)

159. 二元函数的中值定理

160. 微分

161. 定积分和面积

162. 定积分

163. 圆的扇形面积, 三角函数

164. 由定积分的和式极限的定义计算定积分

165. 定积分的一般性质

166. 分部积分法和换元积分法

167. 用分部积分法证明Taylor定理

168. 余项的Cauchy形式对于二项级数的应用

169. 定积分的近似公式, Simpson公式

170. 单实变复函数的积分

第7章杂例

第 8 章 无穷级数和无穷积分的收敛性.

171. 引言

172. 正项级数

173. 正项级数(续)

174. 这些判别法的首批应用

175. 比值判别法

176. 一个重要定理

177. 正项级数的乘法

178. 进一步的收敛与发散判别法

179. Abel (或者 Pringsheim)定理

180. Maclaurin (或者Cauchy)积分判别法9

181. 级数

182. Cauchy并项判别法

183. 进一步的比值判别法

184. 无穷积分

185. 取正值的情形

186. 换元积分法以及分部积分法对无穷积分的应用

187. 其他类型的无穷积分

188. 其他类型的无穷积分(续)

189. 其他类型的无穷积分(续)

190. 有正负项的级数

191. 绝对收敛的级数

192. Dirichlet定理对绝对收敛级数的推广

193. 条件收敛的级数

194. 条件收敛级数的收敛判别法

195. 交错级数

196. Abel收敛判别法与Dirichlet收敛判别法

197. 复数项级数

198. 幂级数

199. 幂级数(续)

200. 幂级数的收敛域,收敛圆

201. 幂级数的唯一性

202. 级数的乘法

203. 绝对收敛和条件收敛的无穷积分

第8章杂例

第 9 章 单实变对数函数、指数函数和三角函数

204. 引言

205. 的定义

206. 所满足的函数方程

207. 当趋向无穷时趋向无穷的方式

208. 当时的证明

209. 当时的性状

210. 无穷大的尺度, 对数尺度

211. 数e

212. 指数函数

213. 指数函数的主要性质

214. 一般的幂

215. 表示为极限

216. 表示成极限

217. 常用对数

218. 级数和积分收敛的对数判别法

219. 与指数函数以及对数函数有关的级数, 用Taylor定理展开e

220. 对数级数

221. 反正切函数的级数

222. 二项级数

223. 建立指数函数和对数函数理论的另一种方法

224. 三角函数的解析理论

225. 三角函数的解析理论(续)

226. 三角函数的解析理论(续)

第9章杂例

第 10 章 对数函数、指数函数以及三角函数的一般理论.

227. 单复变函数

228. 单复变函数(续)

229. 实的和复的曲线积分

230. Log的定义

231. Log的值

232. 指数函数

233. 的值

234. 所满足的函数方程

235. 一般的幂

236. 的一般的值

237. 正弦和余弦的指数的值

238. 和对于的所有值的定义

239. 推广的双曲函数

240. 与等有关的公式

241. 对数函数与反三角函数之间的联系

242. 的幂级数 2

243. 和的幂级数

244. 对数级数

245. 对数级数(续)

246. 对数级数的某些应用, 指数极限

247. 二项式定理的一般形式

第10章杂例

附录 1 Hölder 不等式和 Minkowski 不等式

Hölder 不等式(H)

Minkowski 不等式()

关于不等式的几点说明

附录 2 每个方程都有一个根的证明

附录2的例子

附录 3 关于二重极限问题的一个注记

附录 4 分析与几何中的无穷

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