人人可懂的微积分——用动态、微观、累加的观点来看待微积分电子书

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内容简介

前言

目录

第1章　极限

知识树

应用场景：边无穷多就成了圆

问题先导：怎样让人感觉极限运算不复杂

1.1　用动态和有界的观点来理解极限

1.1.1　怎么理解动态和有界

1.1.2　求连续函数的极限

1.2　求函数极限的方法

1.2.1　用图形法求函数的极限

1.2.2　理解无穷小和无穷大

1.2.3　比较无穷小和无穷大的阶

1.2.4　会用极限的运算法则

1.3　极限计算的示例

1.3.1　一眼看出计算结果

1.3.2　会用两个重要的极限

1.3.3　算算钱存到银行里3年后会有多少钱

1.3.4　推导圆的周长和面积公式

1.4　小结

第2章　导数

知识树

应用场景：爬陡坡更累

问题先导：学习导数有什么诀窍吗

2.1　用动态和微观的观点理解导数

2.1.1　用图形来理解导数

2.1.2　用导数的定义计算导函数

2.1.3　彻底讲透导数的内涵

2.1.4　理解可导与连续的关系

2.1.5　学习常用的求导法则

2.2　计算导数的方法

2.2.1　会用复合函数的求导法则

2.2.2　会用函数乘法的求导法则

2.2.3　会用函数除法的求导法则

2.2.4　会用三角函数的求导法则

2.2.5　会求隐函数的导数

2.2.6　会求反函数的导数

2.2.7　其他计算法则

2.3　高阶导数

2.3.1　理解高阶导数的内涵

2.3.2　初见泰勒公式

2.3.3　初见麦克劳林公式

2.3.4　运用泰勒公式和麦克劳林公式做近似计算

2.3.5　用多项式扩展眼界表达可导函数

◎2.3.6　推导出泰勒公式

◎2.3.7　用泰勒公式比较导数定义中无穷小的阶

2.4　洛必达法则

2.4.1　学会使用洛必达法则

◎2.4.2　推导出洛必达法则

2.5　用导数解决实际问题

2.5.1　求极值点

2.5.2　求拐点

2.5.3　求自由落体物体的速度与加速度

2.6　小结

第3章　偏导数

知识树

应用场景：房价随影响因素的变化而变化

问题先导：偏导数与导数有什么不同

3.1　用动态和微观的观点理解偏导数

3.1.1　先会求偏导数

3.1.2　理解偏导数的几何意义

3.1.3　引出偏导数的定义

3.2　方向导数

3.2.1　会计算二元函数的方向导数

3.2.2　补充学习一些向量知识

3.2.3　补充学习一些矩阵计算知识

3.2.4　解决一个很多人的困惑

3.2.5　理解什么是梯度

3.3　多元函数的凹凸性

3.3.1　理解什么是凸函数和凹函数

3.3.2　如何判定一元函数的凹凸性

◎3.3.3　如何判定多元函数的凹凸性

◎3.4　多元函数的泰勒公式

3.4.1　初见多元函数的泰勒公式

3.4.2　理解泰勒公式的矩阵形式

3.5　用偏导数解决实际问题

3.5.1　运用偏导数考察合力随平面位置的变化

3.5.2　运用梯度做优化计算

◎3.5.3　运用多元函数的泰勒公式做近似计算

3.6　小结

第4章　微分

知识树

应用场景：从微观角度理解矩形面积的增量和不规则图形的面积

问题先导：微分、导数、积分的知识是怎么相通的

4.1　用动态和微观的观点理解微分

4.1.1　理解微分

4.1.2　掌握微分的计算法则

4.1.3　理解并计算偏微分和全微分

4.2　极坐标系

4.2.1　理解极坐标系

4.2.2　什么样的函数适用于使用极坐标系

4.2.3　理解多元函数的球坐标系

4.3　中值定理

4.3.1　理解罗尔中值定理

4.3.2　理解拉格朗日中值定理

4.3.3　理解柯西中值定理

4.4　用微分解决实际问题

4.4.1　用微分近似求面积的变化量

4.4.2　用极坐标系和微分计算雷达中物体的速度

4.4.3　用中值定理分析企业的生产成本

4.5　小结

第5章　不定积分

知识树

应用场景：从注水速度函数反推出注水量函数

问题先导：记住不定积分的公式有什么办法

5.1　以导数为基础反向理解不定积分

5.1.1　理解原函数和不定积分的定义

5.1.2　从几何上理解不定积分

5.1.3　从定义来看如何求不定积分

5.2　计算不定积分的方法

5.2.1　对应导数记忆不定积分公式

5.2.2　从乘法、除法至深入学习分部积分法

5.2.3　学习一些简单的计算法则

5.2.4　学会使用换元积分法

5.3　用不定积分解决实际问题

5.3.1　反推自由落体的距离计算公式

5.3.2　用不定积分计算曲线的长度函数

5.3.3　根据电流函数推导出电荷量函数

5.4　小结

第6章　定积分

知识树

应用场景：计算水坝迎水面的压力

问题先导：计算定积分有什么诀窍

6.1　以不定积分为基础理解定积分

6.1.1　一字之差道出本质

6.1.2　从几何意义上理解定积分

6.1.3　注意区分计算面积和计算定积分

6.2　定积分的基本性质和一个定理

6.2.1　理解定积分的可加性

6.2.2　上下限变反导致定积分结果符号也变反

6.2.3　两函数的大小关系在定积分后仍然相同

6.2.4　理解关于最大值与最小值的不等式性质

6.2.5　理解定积分的中值定理

6.2.6　做计算练习加深理解

6.3　定积分的一些拓展知识

6.3.1　理解求原函数的一个定理

6.3.2　学会使用换元法求定积分

6.3.3　理解广义积分

6.4　用定积分解决实际问题

6.4.1　用定积分计算图形的面积

6.4.2　用定积分计算旋转体的体积

6.4.3　用定积分求自由落体运动下降的距离

6.5　小结

第7章　多重积分

知识树

应用场景：计算不规则物体的面积和体积

问题先导：二重积分计算的到底是面积还是体积

7.1　再次用微观和累加的观点理解二重积分

7.1.1　通过几何意义理解二重积分

7.1.2　理解二重积分的性质

7.1.3　理解更高重的积分

7.2　二重积分的计算

7.2.1　先学会计算二重积分

7.2.2　理解为什么可以这么计算

7.2.3　如何计算积分区域为矩形时的二重积分

7.2.4　学会对复杂的积分区域做划分

◎7.3　二重积分的拓展知识

7.3.1　学会在极坐标系下计算二重积分

7.3.2　学会计算曲线积分和环路积分

7.3.3　学会计算三重积分

7.4　用多重积分解决实际问题

7.4.1　用二重积分计算平面薄板的质量

7.4.2　用二重积分计算建筑物地基承受的压力

◎7.4.3　用环路积分计算圆周运动的位移

7.5　小结

第8章　常微分方程

知识树

应用场景：描述电源撤除后RL电路中电流的变化规律

问题先导：求解常微分方程有什么通用的思路

8.1　常微分方程的定义及简单的常微分方程

8.1.1　理解什么是常微分方程

8.1.2　学会求解可分离变量方程

8.1.3　学会求解简单的齐次微分方程

8.2　一阶常微分方程

8.2.1　学会求解一阶齐次线性微分方程

8.2.2　学会求解一阶非齐次线性微分方程

8.2.3　学会求解伯努利方程

◎8.2.4　学会求解全微分方程

8.3　二阶常微分方程

8.3.1　学会求解可降阶的3种二阶常微分方程

8.3.2　理解二阶线性齐次微分方程解的结构

8.3.3　理解二阶线性非齐次微分方程解的结构

8.3.4　学会求解二阶常系数线性齐次微分方程

8.3.5　理解欧拉公式

8.3.6　学会求解二阶常系数线性非齐次微分方程

8.4　用常微分方程解决实际问题

8.4.1　用可分离变量方程求解热茶冷却的时间

8.4.2　用一阶线性微分方程分析RC电路的充电过程

8.4.3　用二阶线性齐次微分方程分析RLC电路

8.5　小结

附录A　后续学习建议

参考文献