基础数学讲义:走向真正的数学电子书

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献辞

第 2 版序

第 1 版序

第一部分 数学直觉的背景知识

第 1 章 数学思维

1.1 概念的形成

1.2 基模

1.3 一个例子

1.4 自然数学与形式数学

1.5 基于人类经验建立形式化概念

1.6 形式化系统和结构定理

1.7 更灵活地使用形式数学

1.8 习题

第 2 章 数系

2.1 自然数

2.2 分数

2.3 整数

2.4 有理数

2.5 实数

2.6 绘图的不精确性

2.7 实轴的理论模型

2.8 不同数的不同小数表示

2.9 有理数和无理数

2.10 实数的必要性

2.11 小数算术

2.12 序列

2.13 顺序性质和模

2.14 收敛

2.15 完备性

2.16 递减序列

2.17 同一实数的不同小数表示

2.18 有界集

2.19 习题

第二部分 形式化的开端

第 3 章 集合

3.1 成员

3.2 子集

3.3 是否存在宇集

3.4 并集和交集

3.5 补集

3.6 集合的集合

3.7 习题

第 4 章 关系

4.1 有序对

4.2 数学的精确性和人类的理解

4.3 将有序对概念化的其他方法

4.4 关系

4.5 等价关系

4.6 例子：模 n 算术

4.7 等价关系的一些细节

4.8 顺序关系

4.9 习题

第 5 章 函数

5.1 一些传统函数

5.2 函数的一般定义

5.3 函数的一般性质

5.4 函数的图像

5.5 函数的复合

5.6 反函数

5.7 限制

5.8 序列和 n 元组

5.9 多元函数

5.10 二元运算

5.11 集合的索引族

5.12 习题

第 6 章 数理逻辑

6.1 陈述

6.2 谓词

6.3 所有和部分

6.4 多个量词

6.5 否定

6.6 逻辑语法：联结词

6.7 和集合论的联系

6.8 复合陈述公式

6.9 逻辑演绎

6.10 证明

6.11 习题

第 7 章 数学证明

7.1 公理化系统

7.2 理解证明与自我解释

7.3 试题

7.4 习题

第三部分 公理化系统的发展

第 8 章 自然数和数学归纳法

8.1 自然数

8.2 归纳定义

8.3 算术定律

8.4 自然数的顺序

8.5 的唯一性

8.6 计数

8.7 冯 · 诺伊曼的灵感

8.8 其他形式的归纳法

8.9 除法

8.10 因数分解

8.11 欧几里得算法

8.12 思考

8.13 习题

第 9 章 实数

9.1 基本的算术结果

9.2 基本的顺序结果

9.3 构造整数

9.4 构造有理数

9.5 构造实数

9.6 有理数序列

9.7 上的顺序

9.8 的完备性

9.9 习题

第 10 章 作为完备有序域的实数

10.1 环和域的例子

10.2 有序环和有序域的例子

10.3 回顾同构

10.4 一些特征

10.5 和直觉概念间的联系

10.6 习题

第 11 章 复数以及后续数系

11.1 历史背景

11.2 构造复数

11.3 复共轭

11.4 模

11.5 欧拉的指数函数方法

11.6 余弦和正弦的加法公式

11.7 复指数函数

11.8 四元数

11.9 形式数学方法的转变

11.10 习题

第四部分 使用公理化系统

第 12 章 公理化系统、结构定理和灵活思考

12.1 结构定理

12.2 不同数学思维方法的心理学解释

12.3 构建形式化理论

12.4 后续发展

12.5 习题

第 13 章 置换和群

13.1 置换

13.2 作为循环的置换

13.3 置换的群性质

13.4 群的公理

13.5 子群

13.6 同构和同态

13.7 划分群来得到商群

13.8 群和子群的元素数量

13.9 定义群结构的划分

13.10 群同态的结构

13.11 群结构

13.12 群论在数学中的主要贡献

13.13 后续发展

13.14 习题

第 14 章 基数

14.1 康托尔的基数

14.2 施罗德 - 伯恩斯坦定理

14.3 基数的算术

14.4 基数的顺序关系

14.5 习题

第 15 章 无穷小量

15.1 比实数更大的有序域

15.2 超有序域

15.3 超有序域的结构定理

15.4 在几何数轴上表示无穷小量

15.5 放大到更高维度

15.6 无穷小量的微积分

15.7 非标准分析

15.8 非标准分析的奇妙可能性

15.9 习题

第五部分 强化基础

第 16 章 集合论公理

16.1 一些困境

16.2 集合和类

16.3 集合论公理概述

16.4 选择公理

16.5 一致性

16.6 习题

附录 如何阅读证明：“自我解释”方法

如何自我解释

自我解释的例子

自我解释和其他方法的对比

练习证明 1

练习证明 2

记住……

参考文献

看完了