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前言

第 1 章 集合与逻辑

1.1 集合基础

集合与元素

集合的表示方法

子集与包含关系

交集与并集

全集和补集

德 · 摩根定律

条件的否定

“且”和“或”的否定

拓展 【证明】德 · 摩根定律 5

1.2 充分条件和必要条件

命题

包含关系与真假命题

充分条件和必要条件

1.3 逆否命题

命题的互逆、互否、互为逆否

对于难断命题则取其逆否

拓展 原命题和逆否命题同真同假的原因

1.4 反证法

反证法的步骤

用反证法证明 ①

用反证法证明 ②

证明

第 2 章 排列组合与概率

2.1 排列组合

4 种计算方式

阶乘

排列（考虑顺序但不允许重复的情况数）

组合（不考虑顺序，不允许重复的情况数）

允许重复的排列（考虑顺序，允许重复的情况数）

允许重复的组合（不考虑顺序但允许重复的情况数）

2.2 概率基础

什么是概率

与概率相关的术语（试验、样本空间、事件）

概率的定义

“可能性大小相等”是怎么回事

2.3 和事件的概率与概率加法公式

积事件与和事件

积事件的概率与和事件的概率

互斥事件与概率加法公式

积事件的概率与和事件的概率

2.4 重复试验的概率

余事件的概率

重复试验

重复试验公式

2.5 条件概率

条件概率

概率的乘法公式

贝叶斯定理

第 3 章 函数

3.1 函数基础

函数的由来

构成函数的条件

函数图像

图像的平移

拓展 详解图像平移

3.2 二次函数

配方之根本

配方之根本

配方

配方

二次函数的图像

二次函数的最大值和最小值

3.3 三角函数

三角函数的定义及其相互关系

三角函数的定义

弧度制

著名的三角函数值

三角函数的图像

的图像

的图像

的图像

负角和余角的诱导公式

两角和差公式

拓展 两角和差公式的严密证明

三角函数辅助角公式

3.4 指数函数

幂运算法则

幂运算法则

扩大指数范围 ①（指数为 0 或负整数）

方根

方根的性质

拓展 方根性质的证明

扩大指数范围 ②（指数为有理数）

拓展 验证扩大指数范围后的幂运算法则仍然成立

扩大指数范围 ③（指数为无理数）

幂运算法则

指数函数

指数函数的定义

指数函数的图像

3.5 对数函数

对数是什么

对数的定义

对数的性质

对数的性质

拓展 对数性质的证明

对数的运算法则

拓展 对数运算法则的证明

换底公式

拓展 换底公式的证明

常用对数

对数函数

对数函数的图像

专栏

第 4 章 微积分

4.1 极限

函数的极限

指数函数的极限

对数函数的极限

三角函数的极限

拓展 三角函数极限的证明

4.2 微分法

平均变化率

微分系数

导函数

积的求导公式

拓展 用微分的定义证明乘积法则

拓展 商的求导公式

复合函数的微分

4.3 各种函数的微分

的导数

拓展 导数的证明

三角函数的导数

拓展 三角函数导数的证明

自然对数的底 e

对数函数的微分

拓展 对数函数微分的证明

指数函数的微分

拓展 指数函数微分的证明

中值定理

4.4 积分法

不定积分

定积分

微积分基本定理

各种函数的不定积分

拓展 的不定积分是 而非 的原因

换元积分法

拓展 换元积分法的常见类型

仅用于定积分

分部积分

4.5 积分法的应用

体积

曲线的长度

拓展

专栏

第 5 章 数列

5.1 等差数列

什么是数列

正方形数

三角形数

等差数列

等差数列之和

5.2 等比数列

等比数列

等比数列之和

5.3 ∑ 符号

∑ 的含义

∑ 的计算公式

解说

图解 的公式

图解 的公式

∑ 的性质

差分数列

5.4 递推公式

递推公式

解相邻两项间的递推公式

拓展 特征方程的作用

解相邻三项间的递推公式

步骤 ①

步骤 ②

步骤 ③

步骤 ④

步骤 ⑤ 8

拓展 一元二次方程中根与系数的关系和三项递推公式的特征方程

5.5 数学归纳法

数学归纳法的步骤

第 6 章 向量和矩阵

6.1 向量基础

有向线段

什么是向量

相等的向量

6.2 向量的加减法

相反向量和零向量

向量的加法

向量的减法

换起点公式

向量的实数倍

向量平行的条件

向量的分解

向量的坐标表示

基于分量的运算

向量的分量和大小

6.3 向量的内积和外积

内积的定义

内积的几何含义

拓展 余弦定理

证明

向量垂直的条件

内积的性质

外积的定义

记忆方法

外积的几何含义

6.4 位置向量

什么是位置向量

线段内分点的位置向量

线段外分点的位置向量

6.5 向量方程

直线的向量方程（其一）

直线的向量方程（其二）

直线的向量方程（其三）

圆的向量方程（其一）

圆的向量方程（其二）

6.6 矩阵基础和运算

什么是矩阵

矩阵和向量的积

矩阵之和与实数倍

矩阵的积

单位矩阵与零矩阵

6.7 矩阵和方程

逆矩阵

拓展 验证

利用逆矩阵解二元一次方程组

行列式

行列式为 0 时的二元一次方程组

特征向量和特征值

特征向量和特征值的求法

矩阵的对角化

6.8 线性变换

什么是线性变换

线性法则

重要的线性变换（其一）：缩放变换

重要的线性变换（其二）：旋转变换

重要的线性变换（其三）：对称变换

关于 轴的对称变换

关于 轴的对称变换

关于原点的对称变换

拓展 关于 的对称变换

第 7 章 复平面（补充内容）

7.1 复平面基础

虚数单位

什么是复数

什么是复平面

共轭复数

共轭复数的运算

复数的绝对值

7.2 复数的极形式

什么是极形式

复数的乘法和除法

拓展 证明

用复数表示旋转变换

棣莫弗公式

拓展 当 为负整数时

专栏

专栏

第 8 章 挑战日本高考真题！

8.1 “集合与逻辑”的真题

专栏

8.2 “排列组合与概率”的真题

专栏

8.3 “函数”的真题

8.4 “微积分”的真题

8.5 “数列”的真题

专栏

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8.6 “向量和矩阵”的真题

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专栏

8.7 “复平面”的真题

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