常微分方程电子书

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内容提要

编委会

前言

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第一章 绪论

1.1 微分方程模型

习题1.1

1.2 常微分方程的基本概念

习题1.2

第二章 初等积分法

2.1 分离变量法

习题2.1

2.2 变量替换法

2.2.1 齐次方程

2.2.2 可化为齐次的方程

2.2.3 一阶线性方程

2.2.4 Bernoulli方程

2.2.5 Riccati方程

习题2.2

2.3 积分因子法

2.3.1 全微分方程的定义与判别条件

2.3.2 全微分方程的求解

2.3.3 积分因子

习题2.3

2.4 参数法

2.4.1 可解出y或x的隐式方程

2.4.2 不显含y或x的隐式方程

习题2.4

2.5 应用实例

2.5.1 商品市场价格与需求量（供给量）的关系

2.5.2 预测可再生资源的产量，预测商品的销售量

2.5.3 成本分析

2.5.4 关于国民收入、储蓄与投资的关系问题

习题2.5

第三章 一阶常微分方程解的存在唯一性

3.1 Picard存在唯一性定理

3.1.1 一阶显式微分方程

3.1.2 一阶隐式方程

习题3.1

3.2 不动点定理与解的存在性

习题3.2

3.3 解的延拓

习题3.3

3.4 解对初值与参数的连续性与可微性

3.4.1 GronWall不等式

3.4.2 解对初值和参数的连续性

3.4.3 解对初值和参数的连续可微性

习题3.4

3.5 常微分方程的特征值问题

3.5.1 Sturm-Liouville问题

3.5.2 Sturm-Liouville问题解的性质

习题3.5

第四章 高阶微分方程

4.1 高阶微分方程的降阶法

4.1.1 不显含未知函数x的方程

4.1.2 不显含自变量t的方程

习题4.1

4.2 高阶线性微分方程的一般理论

4.2.1 初值问题解的存在唯一性定理

4.2.2 齐次线性方程解空间的结构

4.2.3 非齐次线性方程解集合的性质

习题4.2

4.3 常系数齐次线性方程的待定指数函数法

4.3.1 复值函数与复值解

4.3.2 常系数齐次线性方程的待定指数函数法

4.3.3 Euler方程

习题4.3

4.4 常系数非齐次线性方程的待定系数法

习题4.4

4.5 应用实例

习题4.5

第五章 一阶线性微分方程组

5.1 一阶线性微分方程组的一般理论

5.1.1 一阶线性微分方程组的基本概念

5.1.2 一阶线性微分方程组与高阶线性微分方程的关系

5.1.3 存在唯一性定理

5.1.4 一阶齐次线性微分方程组解空间的结构

5.1.5 一阶齐次线性微分方程组的基解矩阵的性质

5.1.6 一阶非齐次线性微分方程组解集合的性质

习题5.1

5.2 一阶常系数线性微分方程组

5.2.1 矩阵指数函数exp(At)

5.2.2 常系数齐次线性微分方程组的解法

5.2.3 常系数非齐次线性微分方程组的常数变易公式

习题5.2

5.3 应用实例

习题5.3

第六章 稳定性理论简介

6.1 稳定性概念

6.1.1 稳定性定义

6.1.2 稳定性的线性近似判定

习题6.1

6.2 Lyapunov函数判别法

6.2.1 常正（负）函数与定正（负）函数

6.2.2 自治系统稳定性的Lyapunov判别法

6.2.3 自治系统不稳定性的Lyapunov判别法

习题6.2

6.3 应用实例

第七章 一阶线性偏微分方程

7.1 基本概念

7.2 一阶线性偏微分方程的求解

7.2.1 首次积分

7.2.2 常微分方程组与一阶线性偏微分方程

7.2.3 利用首次积分求解常微分方程组

7.2.4 一阶齐次线性偏微分方程的求解

7.2.5 一阶拟线性偏微分方程的求解

习题7.2

7.3 Cauchy问题

7.3.1 一阶线性（拟线性）偏微分方程求解的几何解释

7.3.2 Cauchy问题

习题7.3

第八章 差分方程

8.1 差分和差分方程的概念

8.1.1 差分的定义

8.1.2 差分的性质和运算法则

8.1.3 差分方程的概念

习题8.1

8.2 常系数差分方程解的结构

8.3 差分方程模型

8.3.1 一般蛛网模型

8.3.2 Hansen-Samuelson模型（国民收入分析模型）

8.4 常系数线性差分方程的求解

8.4.1 一阶常系数线性差分方程

8.4.2 二阶常系数线性差分方程

习题8.4

习题参考答案及提示

参考文献